П "ять дивовижних математичних фактів

Для початку невеликий спойлер

Та я знаю, що якщо написати прізвище з заголовної літери, казусу не вийде. Далі переклад.

Математика - одна з небагатьох галузей знань, яка може бути об'єктивно названа істинною, тому що її теореми засновані на чистій логіці. Але в той же час ці теореми часто виявляються дуже дивними і суперечать інтуїції.

Деякі люди вважають математику нудною. Наступні приклади показують, що вона яка завгодно, але не така

5. Випадкові набори даних

Як це не дивно, випадкові дані насправді не такі вже й випадкові. У наведених даних, що представляють собою всі від біржових курсів до населення міст, висот будівель і протяжностей річок, близько 30 відсотків всіх чисел починаються з одиниці. Менша кількість починається з 2, ще менше з 3 і так далі, з 9 починається тільки кожне двадцяте число. І чим більше набір даних, чим ширше порядок охоплюваних величин, тим сильніше проявляється ця закономірність.

4. Спіралі простих чисел

В силу того, що прості числа неподільні (крім як на одиницю і самого себе), і того, що всі інші числа можуть бути представлені у вигляді їх твору, прості числа часто розглядаються як «атоми» в світі математики. Незважаючи на свою важливість, розподіл простих чисел досі залишається таємницею. Немає такого правила, яке б однозначно говорило, які числа будуть простими і через скільки зустрінеться наступне просте число.

Випадковість простих чисел робить факти, виявлені в «Скатерті Улама» дуже дивними.

У 1963 році математик Станіслав Улам виявив дивовижну закономірність, коли розмальовував свою записну книжку під час презентації: якщо записувати цілі числа спіралі, прості числа вибудовуються вздовж діагональних ліній. Саме по собі це не дуже дивно, якщо пам'ятати, що всі прості числа, крім двійки, непарні, а діагональні лінії в спіралях цілих чисел по черзі є непарними. Більш незвичайною була тенденція простих чисел лежати переважно на одних діагоналях і практично відсутні на інших. Причому закономірність спостерігалася незалежно від того, з якого числа починалася спіраль (з одиниці або будь-якого іншого).

Навіть якщо масштабувати спіраль, щоб вона вміщувала набагато більшу кількість чисел, можна побачити, що скупчення простих чисел на одних діагоналях набагато щільніше, ніж на інших. Існують математичні припущення, що пояснюють цю закономірність, але поки вони не доведені.

3. Вивертання сфери

В одній важливій галузі математики, яка називається топологія, два об'єкти вважаються еквівалентними або гомеоморфними, якщо один з них може бути перетворений в інший шляхом скручування або розтягування поверхні. Об'єкти вважаються різними, якщо для перетворення потрібні розрізи або злами поверхні.

Як приклад розглянемо тор - об'єкт у формі пончика. Якщо поставити його вертикально, розширити одну сторону і втиснути верхівку цього ж боку, то вийде циліндричний об'єкт з ручкою. У середовищі математиків існує класичний жарт, що топологи не можуть відрізнити пончика від чашки з кави.

З іншого боку, стрічки Мебіуса - петлі з єдиним перегином не є гомеоморфними петлями без перегинів (циліндри), тому що не можна розпрямити стрічку Мебіуса, без того щоб розрізати її, перевернути одну сторону і склеїти заново.

Топологів давно цікавить питання, чи буде сфера гомеоморфною самій собі, будучи вивернутою навиворіт? Іншими словами, чи можна вивертати сферу? На перший погляд це здається неможливим, тому що не можна проткнути дірку в сфері. Але, виявляється, вивертання сфери можливе. Як це робиться, показано на відео

.

Вражає той факт, що тополог Бернард Морін, який є головним розробником наведеного методу вивертання сфери, сліпий.

2. Математика стін

Незважаючи на те, що стіни можуть бути прикрашені нескінченною кількістю завитушок, говорячи математичною мовою, існує кінцеве число окремих геометричних шаблонів. Всі періодичні малюнки Ешера, шпалери, плиткові дизайни і взагалі всі почесні повторювані групи фігур, можуть бути віднесені до тієї чи іншої так званої «плоскої кристалографічної групи». І знаєте, скільки існує таких груп? Рівно 17.

1. Сонет

«Як сонет Шекспіра схоплює саму суть любові, або картина показує внутрішню красу людини, рівняння Ейлера проникає в самі глибини існування».

Математик зі Стенфорда Кейт Девлін (Keith Devlin) написав ці слова про рівняння в есе 2002 року, яке називалося «Найпрекрасніше рівняння». Але чому від формули Ейлера перехоплює дихання? І що вона взагалі означає?

По-перше, буква «e» являє собою ірраціональне число (з нескінченною кількістю цифр), яке починається з 2.71828... Відкрите в контексті безперервно нараховуваного складного відсотка, воно описує темпи експоненційного зростання від колоній популяцій комах до радіоактивного розпаду. У математиці число має низку несподіваних властивостей, наприклад, воно дорівнює сумі зворотних факторіалів від нуля до нескінченності. Зрештою константа e окупувала математику, взявшись начебто нізвідки, але опинившись у великому числі важливих рівнянь.

Далі. i являє собою так звану уявну одиницю - квадратний корінь з мінус 1. «Так звану», тому що в реальності не існує числа, яке, будучи помноженим саме на себе, в результаті дало негативне число (тому негативні числа не мають дійсних квадратних коренів). Але в математиці існує велика кількість ситуацій, коли доводиться витягувати квадратний корінь з негативного числа. Число i використовується як своєрідна позначка того місця, де така операція була зроблена.

Пі - ставлення довжини кола до її діаметру, одна з улюблених і найбільш цікавих констант у математиці. Подібно до того, вона з'явилася у великій кількості математичних і фізичних формул ніби з нізвідки.

Константа e, зведена в ступінь уявна одиниця, помножена на Пі рівняється мінус одному. З рівняння Ейлера випливає, що додавання до цього одиниці дає нуль. Важко повірити, що всі ці дивні числа, одне з яких навіть не відноситься до реального світу, можуть бути так просто скомбіновані. Але це доведений факт.